Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ. Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH EKTIMHSH PARAMETRWN - 2. Dhm trhc Kougioumtz c.

Σχετικά έγγραφα
Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

Statistik gia QhmikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARA

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc EKTIMHSH PAR

Statistik gia PolitikoÔc MhqanikoÔc ELEGQOS UPOJ

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN. 5h Seirˆ Ask sewn. Allag metablht n sto diplì olokl rwma

11 OktwbrÐou S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS DEUTERHS KAI ANWTERHS TAXHS

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ

Κλασσική Ηλεκτροδυναμική II

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

Pragmatik Anˆlush ( ) TopologÐa metrik n q rwn Ask seic

GENIKEUMENA OLOKLHRWMATA

25 OktwbrÐou 2012 (5 h ebdomˆda) S. Malefˆkh Genikì Tm ma Majhmatikˆ gia QhmikoÔc

Anaplhrwt c Kajhght c : Dr. Pappˆc G. Alèxandroc PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA I

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ Εξετάσεις Ιουνίου 2002

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Μηχανική Μάθηση. Ενότητα 10: Θεωρία Βελτιστοποίησης. Ιωάννης Τσαμαρδίνος Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Diakritˆ Majhmatikˆ I. Leutèrhc KuroÔshc (EÔh Papaðwˆnnou)

Jerinì SqoleÐo Fusik c sthn EkpaÐdeush 28 IounÐou - 1 IoulÐou 2010 EstÐa Episthm n Pˆtrac

Στατιστική για Χημικούς Μηχανικούς

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

9. α 2 + β 2 ±2αβ. 10. α 2 ± αβ + β (1 + α) ν > 1+να, 1 <α 0, ν 2. log α. 14. log α x = ln x. 19. x 1 <x 2 ln x 1 < ln x 2

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN EPIKAMPULIA OLOKLHRWMATA

JEMATA EXETASEWN Pragmatik Anˆlush I

6h Seirˆ Ask sewn. EpikampÔlia oloklhr mata

Eisagwg sthn KosmologÐa

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II DIAFORIKES EXISWSEIS.

1 η Σειρά Ασκήσεων Θεόδωρος Αλεξόπουλος. Αναγνώριση Προτύπων και Νευρωνικά Δίκτυα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Tm ma Fusik c Mˆjhma: Pijanìthtec -Sfˆlmata-Statistik PerÐodoc: Febrouˆrioc 2008

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

Anagn rish ProtÔpwn & Neurwnikˆ DÐktua Probl mata 2

Ask seic me ton Metasqhmatismì Laplace

Ανάλυση ις. συστήματα

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN ANWTERA MAJHMATIKA II SUNARTHSEIS POLLWN METABLHTWN.

Mègisth ro - elˆqisth tom

Οι παρατηρήσεις του δείγματος, μεγέθους n = 40, δίνονται ομαδοποιημένες κατά συνέπεια ο δειγματικός μέσος υπολογίζεται από τον τύπο:

Farkas. αx+(1 α)y C. λx+(1 λ)y i I A i. λ 1,...,λ m 0 me λ 1 + +λ m = m. i=1 λ i = 1. i=1 λ ia i A. j=1 λ ja j A. An µ := λ λ k = 0 a λ k

5. (12 i)(3+4i) 6. (1 + i)(2+i) 7. (4 + 6i)(7 3i) 8. (1 i)(2 i)(3 i)

f(x) =x x 2 = x x 2 x =0 x(x 1) = 0,

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά για Μηχανικούς

στο Αριστοτέλειο υλικού.

AM = 1 ( ) AB + AΓ BΓ+ AE = AΔ+ BE. + γ =2 β + γ β + γ tìte α// β. OΓ+ OA + OB MA+ MB + M Γ+ MΔ =4 MO. OM =(1 λ) OA + λ OB

thlèfwno: , H YHFIAKH TAXH A' GumnasÐou Miqˆlhc TzoÔmac Sq. Sumb. kl.

ΜΑΘΗΜΑ 2, Έλεγχος ροής προγράμματος ΒΑΣΙΚΗ ΣΥΝΤΑΞΗ:

10/2013. Mod: 02D-EK/BT. Production code: CTT920BE

Hmiomˆdec telest n sônjeshc kai pðnakec Hausdorff se q rouc analutik n sunart sewn

Eukleideiec Gewmetriec

L mma thc 'Antlhshc. A. K. Kapìrhc

2+sin^2(x+2)+cos^2(x+2) Δ ν =[1 1 2 ν 1, ν ) ( ( π (x α) ημ β α π ) ) +1 + a 2

Ergasthriak 'Askhsh 2

Φυλλο 3, 9 Απριλιου Ροδόλφος Μπόρης

MELETH TWN RIZWN TWN ASSOCIATED ORJOGWNIWN

Anaz thsh eustaj n troqi n se triplˆ sust mata swmˆtwn

9.2 Μελετώντας τρισδιάστατα γραφικά στο επίπεδο Oi sunartήseiv Contour Plot kai DensityPlot

HU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier

Κεφάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. ˆθ παίρνει διαφορετικές τιµές, δηλαδή η ˆθ είναι η ίδια τ.µ. µε κάποια κατανοµή κι έχει µέση

Shmei seic Sunarthsiak c Anˆlushc

Upologistik Fusik Exetastik PerÐodoc IanouarÐou 2013

SofÐa ZafeirÐdou: GewmetrÐec

Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa

στο Αριστοτέλειο υλικού.

Ανάλυση ασκήσεις. συστήματα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

PANEPISTHMIO DUTIKHS ATTIKHS SQOLH MHQANIKWN. Ask seic kai Jèmata sthn Pragmatik Anˆlush I TMHMA POLITIKWN MHQANIKWN

ΜΕΤΑΒΟΛΙΚΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΕΥΘΕΡΩΝ ΣΥΝΟΡΩΝ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΝΙΠΥΡΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

H mèjodoc Sturm. Mˆjhma AkoloujÐec Sturm

spin triplet S =1,M S =0 = ( + ) 2 S =1,M S = 1 = spin singlet S =0,M S =0 = ( )

KATASTATIKO 3. XRHSIMOPOIHSH TVN OIKONOMIKVN MESVN, KOINH VFELEIA

Shmei seic sto mˆjhma Analutik GewmetrÐa

Didaktorikèc spoudèc stic HPA, sta Majhmatikˆ. 20 MartÐou 2015


Ergasthriak 'Askhsh 3

BeltistopoÐhsh. Dr. Dhm trhc Swthrìpouloc. Tm ma Thlepikoinwniak Susthmˆtwn kai DiktÔwn. Tetˆrth, 7 OktwbrÐou 2009

Ανάλυση. σήματα και συστήματα

X = = 81 9 = 9

Κεϕάλαιο 2 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ. 2.1 Σηµειακή Εκτίµηση. {x 1,..., x n } της X από ένα δείγµα µεγέθους n. Τότε η σηµειακή εκτίµηση της θ δίνεται

JewrÐa UpologismoÔ. Grammatikèc QwrÐc Sumfrazìmena kai Autìmata StoÐbac

Εκτίμηση Διαστήματος. Χ. Εμμανουηλίδης, 1. Στατιστική ΙI. Εκτίμηση Διαστήματος Εμπιστοσύνης για τον Μέσο

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς

2 PerÐlhyh Se aut n thn ergasða, parousi zoume tic basikìterec klassikèc proseggðseic epðlushc Polu-antikeimenik n Problhm twn BeltistopoÐhshs(PPB) ka

SUNOLA BIRKHOFF JAMES ϵ ORJOGWNIOTHTAS KAI ARIJMHTIKA PEDIA

B ν = 2kT. I ν = 2kT b. Te tν/μ dt ν /μ (59) T b T (1 e τν ) (60) T b τ ν T (61)

Θέματα Στατιστικής στη γλώσσα R


Εισαγωγή στην Εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

N.Σ. Μαυρογιάννης 2010

21/11/2016. Στατιστική Ι. 8 η Διάλεξη (Κεντρικό Οριακό Θεώρημα)

G. A. Cohen ** stìqo thn kubernhtik nomojesða kai politik, den upˆrqei tðpota to qarakthristikì sth morf thc.)

Ta Jewr mata Alexander kai Markov thc JewrÐac Kìmbwn

Transcript:

Statistik gia Hlektrolìgouc MhqanikoÔc EKTIMHSH PARAMETRWN - 2 6 Maòou 2010

EktÐmhsh Diast matoc empistosônhc Melet same thn ektim tria ˆθ paramètrou θ: An gnwrðzoume thn katanom thc X kai eðnai F X (x; θ), tìte brðskoume th ˆθ me 1 Mèjodo rop n 2 Mèjodo megðsthc pijanofˆneiac Anexˆrthta apì thn katanom thc X èqoume touc ektimhtèc: θ := µ ˆθ = x θ := σ 2 ˆθ = s 2 ˆθ = s 2 H tim thc ektim triac ˆθ exartˆtai apì to deðgma {x 1,..., x n }. ˆθ eðnai t.m. me E(ˆθ) µˆθ, Var(ˆθ) σ 2ˆθ Katanom thc ˆθ? E(ˆθ)? Var(ˆθ)? Me bˆsh thn katanom thc ˆθ jèloume na orðsoume èna diˆsthma [θ 1, θ 2 ] pou ja perièqei me kˆpoia pijanìthta thn pragmatik tim thc θ.

Diˆsthma empistosônhc thc µ Ektim tria (shmeiak ektðmhsh) thc µ: x µ x = E(ˆµ)= µ σ 2 x = Var( x) = Var ( 1 n ) n x i i=1 = 1 n n 2 Var(x i ) = 1 n 2 i=1 n i=1 = 1 n 2 (n σ2 )= σ2 n σ x = σ/ n stajerì sfˆlma H katanom thc x exartˆtai apì 1 th diasporˆ thc X, σ 2 (gnwst / ˆgnwsth) 2 thn katanom thc X (kanonik ìqi) 3 mègejoc tou deðgmatoc n (megˆlo / mikrì) σ 2

Diˆsthma empistosônhc thc µ - gnwst diasporˆ σ 2 Gia thn katanom thc x èqoume dôo peript seic 1 X N(µ, σ 2 ) 2 n > 30 x N(µ, σ 2 /n) X N(µ, σ 2 ) n < 30 x? 1 An h katanom thc X eðnai kanonik κατανομή της X 1 +... + X n είναι κανονική h katanom thc x eðnai kanonik 2 An to deðgma eðnai megˆlo n > 30 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα h katanom thc x eðnai kanonik

gnwstì σ 2 kai x akoloujeð kanonik katanom x N(µ, σ 2 /n) z x µ σ/ N(0, 1) n Gia kˆje pijanìthta α (kai 1 α) upˆrqoun oi antðstoiqec timèc thc z, z α/2 = z 1 α/2 : P(z < z α/2 ) = Φ(z α/2 ) = α/2 P(z > z 1 α/2 ) = 1 Φ(z 1 α/2 ) = 1 (1 α/2) = α/2 P(z < z α/2 z > z 1 α/2 ) = α P(z α/2 < z < z 1 α/2 ) =Φ(z 1 α/2 ) Φ(z α/2 ) = 1 α Apì ton statistikì pðnaka tupik c kanonik c katanom c DÐnetai pijanìthta 1 α krðsimh tim z 1 α/2 = Φ 1 (1 α/2) }

gnwstì σ 2, x akoloujeð kanonik katanom (sunèqeia) h z an kei sto diˆsthma [z α/2, z 1 α/2 ] = [ z 1 α/2, z 1 α/2 ] me pijanìthta 1 α. Apì to metasqhmatismì z x µ σ/ n diast matoc [ z 1 α/2, z 1 α/2 ] z 1 α/2 = x µ σ/ n LÔnoume wc proc µ èqoume gia ta ˆkra tou z 1 α/2 = x µ σ/ n µ = x + z 1 α/2 σ n µ = x z 1 α/2 σ n Diˆsthma empistosônhc thc µ se epðpedo empistosônhc 1 α [ x z 1 α/2 σ n, x + z 1 α/2 σ n ]

gnwstì σ 2, x akoloujeð kanonik katanom (sunèqeia) ErmhneÐa diast matoc empistosônhc me pijanìthta (empistosônh) 1 α h mèsh tim µ brðsketai mèsa s' autì to diˆsthma OQI an qrhsimopoioôsame pollˆ tètoia diast mata apì diaforetikˆ deðgmata, posostì (1 α)% apì autˆ ja perieðqan th µ NAI me 1 α pijanìthta (empistosônh) to diˆsthma autì ja perièqei thn pragmatik µ NAI

gnwstì σ 2, x akoloujeð kanonik katanom (sunèqeia) DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 Epilog tou 1 α, σ gnwstì, x apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c z 1 α/2 apì ton pðnaka gia tupik kanonik katanom. 3 Antikatˆstash ston tôpo [ x z 1 α/2 σ n, x + z 1 α/2 σ n ]

Parˆdeigma Diˆsthma empistosônhc se epðpedo 95% gia gia to mèso ìrio èntashc hlektrikoô reômatoc gia asfˆleiec twn 40 ampèr pou parˆgei mia etaireða? DÐnetai σ 2 = 1 (ampèr) 2 Iστoγραμμα oριoυ ρευματος για ασφαλειες εταιρειας A 6 41.5 Θηκoγραμμα oριoυ ρευματος για ασφαλειες εταιριας A συχνoτητα 5 4 3 2 1 41 40.5 40 39.5 39 38.5 0 38 39 40 41 42 43 ευρoς A summetrða, ìqi makrièc ourèc, ìqi akraða shmeða X N(µ, 1) µ =?

Parˆdeigma (sunèqeia) X N(µ, 1) x N(µ, 1/25) x = 1 25 25 i=1 x i = 995.1 25 = 39.8 DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 1 α = 0.95, σ = 1, x = 39.8. 2 KrÐsimh tim : z 0.975 = Φ 1 (0.975) = 1.96. 3 σ x ± z 1 α/2 n 39.8 ± 1.96 1 5 [39.41, 40.20] Sumpèrasma: Se 95% epðpedo empistosônhc perimènoume to mèso ìrio èntashc hlektrikoô reômatoc gia asfˆleiec twn 40 ampèr me bˆsh to deðgma apì thn etairða A na kumaðnetai metaxô 39.41 kai 40.20.

Diˆsthma empistosônhc thc µ, ˆgnwsth diasporˆ σ 2 PerÐptwsh 1: megˆlo deðgma (n > 30) s 2 σ 2 : [ x z 1 α/2 s n, x + z 1 α/2 s n ] PerÐptwsh 2: mikrì deðgma (n < 30) kai X N(µ, σ 2 ) Tìte isqôei t x µ s/ n t n 1 katanom student me n 1 bajmoôc eleujerðac 0.4 0.3 N(0,1) t 5 t 24 t 50 f (x) X 0.2 0.1 0 6 4 2 0 2 4 6 x

'Agnwsth diasporˆ σ 2 0.4 0.3 f X (x) 0.2 0.1 t 24,0.025 = 2.064 t 24,0.975 =2.064 0 6 4 2 0 2 4 6 x DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 Epilog tou 1 α, σ ˆgnwsto, x kai s apì to deðgma. 2 EÔresh krðsimhc tim c t n 1, 1 α/2 apì ton pðnaka gia katanom student. 3 Antikatˆstash ston tôpo [ x t n 1,1 α/2 s n, x + t n 1,1 α/2 s n ]

'Agnwsth diasporˆ σ 2 PerÐptwsh 3: mikrì deðgma (n < 30) kai X N(µ, σ 2 ) Mh-parametrik mèjodoc

Parˆdeigma Diˆsthma empistosônhc se epðpedo 95% gia to mèso ìrio èntashc hlektrikoô reômatoc thc asfˆleiac? [σ 2 ˆgnwsto] Mikrì deðgma (n < 30) kai X N(µ, σ 2 ) t x µ s/ n t n 1, bajmoð eleujerðac: n 1 = 24 ( s 2 = 1 25 ) xi 2 25 (39.8) 2 = 0.854 (ampèr) 2 24 i=1 DiadikasÐa ektðmhshc tou diast matoc empistosônhc tou µ 1 1 α = 0.95, x = 39.8, s 2 = 0.854. 2 KrÐsimh tim : t 24,0.975 = 2.064. 3 s x ± t n 1,1 α/2 n 39.80 ± 2.064 0.854 5 [39.42, 40.18] An z 0.975 = 1.96 antð t 24, 0.975 = 2.064 39.8 ± 1.96 0.854 5 [39.44, 40.16]

EktÐmhsh diast matoc empistosônhc thc µ diasporˆ X -katanom n x -katanom d.e. gnwst kanonik z x µ σ/ N(0, 1) n x ± z 1 α/2 σ n gnwst mh kanonik megˆlo z x µ σ/ N(0, 1) n x ± z 1 α/2 σ n gnwst mh kanonik mikrì ˆgnwsth megˆlo z x µ s/ N(0, 1) x ± z n 1 α/2 s n ˆgnwsth kanonik mikrì t x µ s/ n tn 1 x ± t n 1,1 α/2 s n ˆgnwsth mh kanonik mikrì Genikˆ gia to d.e. thc µ brðsketai apì σ x ± z α/2 n s x ± t n 1,1 α/2 n

To diˆsthma empistosônhc exartˆtai apì: thn katanom kai th σ 2 thc t.m. X to mègejoc n tou deðgmatoc to epðpedo empistosônhc 1 α Gia dedomèno eôroc diast matoc empistosônhc mporoôme na broôme to mègejoc n pou antistoiqeð apì ton antðstoiqo tôpo. Endeiktik perðptwsh: n < 30, X N(µ, σ 2 ) kai σ 2 ˆgnwsto eôroc tou d.e. w = 2t n 1,1 α/2 s n Gia eôroc w prèpei to deðgma na èqei mègejoc n = ( 2t n 1,1 α/2 s ) 2 ( n = 2z w 1 α/2 s ) 2 w anˆloga me to n pou brðskoume.

Parˆdeigma Sto prohgoômeno arijmhtikì parˆdeigma (asfˆleiec}, qrhsimopoi ntac t-katanom br kame 95% d.e. 39.8 ± 2.064 0.854 5 [39.42, 40.18] EÔroc d.e.: w = 2 2.064 0.854 5 = 0.76 isodônama akrðbeia gôrw apì th x : 2.064 0.854 5 = 0.38 An jèloume eôroc 0.5 ( akrðbeia 0.25), pìso prèpei na megal sei to deðgma? ( ) 2 (kanonik katanom ) n = 2 1.96 0.854 0.5 = 52.5 53 (katanom student) ( ) 2 t 24,0.975 = 2.064 n = 2 2.064 0.854 0.5 = 58.2 59 ( ) 2 t 58,0.975 = 2.002 n = 2 2.002 0.854 0.5 = 54.7 55 ( ) 2 t 54,0.975 = 2.005 n = 2 2.005 = 54.9 55 0.854 0.5

'Askhsh Diˆsthma empistosônhc thc mèshc tim c µ Εγιναν 15 μετρήσεις της συγκέντρωσης διαλυμένου οξυγόνου (Δ.Ο.) σε ένα ποτάμι (σε mg/l) 1.8 2.0 2.1 1.7 1.2 2.3 2.5 2.9 1.6 2.2 2.3 1.8 2.4 1.6 1.9 Από παλιότερες μετρήσεις γνωρίζουμε ότι η διασπορά του Δ.Ο. είναι 0.1 (mg/l) 2. 1 Εκτιμείστε τη διασπορά της συγκέντρωσης Δ.Ο. από το δείγμα καθώς και τα διαστήματα εμπιστοσύνης σε επίπεδο 99% και 90%. Εξετάστε και για τα δύο επίπεδα εμπιστοσύνης αν μπορούμε να δεχτούμε την εμπειρική τιμή της διασποράς γι αυτό το δείγμα. 2 Εκτιμείστε τη μέση συγκέντρωση Δ.Ο. από το δείγμα και δώστε γι αυτήν 95% διάστημα εμπιστοσύνης υποθέτοντας πρώτα ότι η διασπορά είναι γνωστή και μετά χρησιμοποιώντας αυτήν του δείγματος. 3 Αν υποθέσουμε ότι για ένα εργοστάσιο δίπλα στο ποτάμι είναι σημαντικό η μέση συγκέντρωση Δ.Ο. να μην πέφτει κάτω από 1.8 mg/l, θα προκαλούσαν ανησυχία αυτές οι παρατηρήσεις (διασπορά από το δείγμα);

'Askhsh (sunèqeia) 4 Αν δε μας ικανοποιεί το εύρος του τελευταίου παραπάνω διαστήματος και θέλουμε να το μειώσουμε σε 0.2 mg/l πόσες επιπρόσθετες ημερήσιες μετρήσεις πρέπει να γίνουν; 5 Ενας άλλος τρόπος να ελέγξουμε αν η συγκέντρωση του Δ.Ο. πέφτει σε μη επιθυμητά επίπεδα είναι να δούμε αν το ποσοστό των ημερών που η τιμή της συγκέντρωσης Δ.Ο. πέφτει στο επίπεδο 1.6 mg/l και κάτω ξεπερνάει το 15%. Εκτιμείστε αυτό το ποσοστό από το δείγμα. Μπορείτε να δώσετε 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό; Πόσο πρέπει να είναι το μέγεθος του δείγματος για να μπορεί να εκτιμηθεί 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το ποσοστό με πλάτος το πολύ 10%;